Question

6．已知△ABC的重心为O，且AB=5，BC=2$\sqrt{3}$，AC=3，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 利用重心的性质和向量的运算法则求出$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，再求数量积运算即可．

解答 解：设D为边BC的中点，如图所示，
则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
根据重心的性质可得：
$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
又$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=$\frac{1}{3}$×3²-$\frac{1}{3}$×5²
=-$\frac{16}{3}$．
故答案为：-$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了三角形重心的性质和平面向量数量积的运算问题，是基础题目．