Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，4a_n+2=4a_n+1-a_n（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 由已知得4a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-a_n（n∈N^*），从而数列{2a_n+1-a_n}是以3为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．进而得到数列{a_n×2ⁿ}是以2为首项，6为公差的等差数列．
a_n×2ⁿ=2+6（n-1）=6n-4，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵4a_n+2=4a_n+1-a_n（n∈N^*），
∴4a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-a_n（n∈N^*），
∴$\frac{2{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{2{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，为定值．
∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，
∴2a₂-a₁=2×2-1=3，
数列{2a_n+1-a_n}是以3为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
2a_n+1-a_n=3×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
等式两边同乘以2ⁿ，a_n+1×2ⁿ⁺¹-a_n×2ⁿ=6为定值．
a₁×2=1×2=2，
数列{a_n×2ⁿ}是以2为首项，6为公差的等差数列．
a_n×2ⁿ=2+6（n-1）=6n-4，
a_n=$\frac{6n-4}{{2}^{n}}$，
n=1时，a₁=$\frac{6-4}{2}$=1；n=2时，a₂=$\frac{6×2-4}{{2}^{2}}$=2，同样满足．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{6n-4}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．