Question

【题目】函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝2x＋ (x∈R)．

(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式．

(2)判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝2x ;(2)详见解析.

【解析】试题分析:(1) 当0<x≤1时，－1≤－x<0，f(－x)＝－2x＋=- f(x),解出f(x)即可;(2) 任取x1，x2∈(0,1]且x1<x2,通过计算得出f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(0,1]上为增函数．

试题解析:

(1)当0<x≤1时，－1≤－x<0，

f(－x)＝－2x＋，因为f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)　∴f(x)＝2x－.

(2)任取x1，x2∈(0,1]且x1<x2.

则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋(－)

＝2(x1－x2)＋

＝(x1－x2)(2＋)

因为0<x1<x2＜1，则x1－x2<0且2＋>0.

从而f(x1)<f(x2)．所以f(x)在(0,1]上为增函数．

点睛: 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断