Question

4．如图，已知直线l过点P（2，0），斜率为$\frac{4}{3}$，直线l和抛物线y²=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P、M两点间的距离|PM|；
（2）线段AB的长|AB|．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的参数方程，代入抛物线方程y²=2x，利用参数的几何意义求出P、M两点间的距离|PM|；
（2）利用参数的几何意义求出线段AB的长|AB|．

解答 解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为$\frac{4}{3}$，
设直线的倾斜角为α，tanα=$\frac{4}{3}$，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$ （t为参数）．
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y²=2x中，
整理得8t²-15t-50=0，
则△=（-15）²-4×8×（-50）＞0．
设这个二次方程的两个根分别为t₁、t₂，
由根与系数的关系，得t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁t₂=-$\frac{25}{4}$
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=$\frac{1}{2}$|t₁+t₂|=$\frac{15}{16}$
（2）|AB|=|t₂-t₁|=$\sqrt{\frac{225}{64}+4×\frac{25}{4}}$=$\frac{5}{8}\sqrt{73}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．