Question

函数y=log_a（2-x）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0上（mn＞0），则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先求出A的坐标，代入直线方程，再利用“1”的代换，结合基本不等式，可得结论．

解答：解：∵函数y=log_a（2-x）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
∴A（1，1），
∵点A在直线mx+ny-1=0上（mn＞0），
∴m+n=1（mn＞0），
∴

1

m

+

1

n

=（m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

≥2+2

n m • m n

=4，当且仅当m=n=

1

2

时取等号，
∴m=n=

1

2

时，

1

m

+

1

n

的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查对数函数的性质，正确运用基本不等式是关键．