Question

已知下列命题：
①若f（x）为减函数，则-f（x）为增函数；
②若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．
⑤若函数f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函数，则m的取值范围是1＜m＜2；
其中正确命题的序号有

①②④

（把所有正确命题的番号都填上）

Answer 1

分析：①利用复合函数的单调性法则（同增异减）即可判断①的正误；
②利用减函数的概念可判断②的正误；
③依题意，利用抽象函数的定义域可求得函数f（2x）的定义域，从而可判断③的正误；
④利用零点存在定理可判断④的正误；
⑤利用增函数的概念可判断⑤．

解答：解：①∵f（x）为减函数，
由复合函数的单调性知，-f（x）为增函数，故①正确；
②对任意x₁，x₂∈R，当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），则函数f（x）是R上的减函数，由R上减函数的定义可知，x₁，x₂为R上的“任意”实数，当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），而不是“存在”实数x₁＜x₂，使得f（x₁）＞f（x₂），故②若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数，正确；
对于③，∵函数f（x）的定义域为[0，2]，
∴0≤2x≤2⇒0≤x≤1，
∴函数f（2x）的定义域为[0，1]，故③错误；
对于④，由零点存在定理知，函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根，正确；
对于⑤，∵f（x）=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)(x+1)(x≥1)

在R上是增函数，
∴

m-1＞0 (1+1)(m-1)≥(2-m)×1+2m 2-m＞0

，解得

m＞1 m≥4 m＜2

，
∴m∈∅，故⑤错误．
综上所述，正确命题的序号有①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的单调性与定义域，考查零点存在定理，属于中档题．