Question

如图所示，⊙O的直径为AB，AD平分∠BAC，AD交⊙O于点D，BC∥DE，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB=10，AC=6求DF的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结OD，得∠ODA=∠OAD=∠DAC，从而OD∥AE，由BC⊥AC，且BC∥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是圆O的切线．
（Ⅱ）过点D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，则∠ACB=90°，从而OH=3，DH=4，AD=4

5

，由角平分线的性质得AE=AH=8，由△AEF∽△DOF，由此能求出DF．

解答： （Ⅰ）证明：如图所示，连结OD，得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
∴OD∥AE，又BC⊥AC，且BC∥DE，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是圆O的切线．
（Ⅱ）解：过点D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，
又AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
则cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

3

5

=

OH

OD

，
∵OD=5，∴OH=3，DH=4，AD=4

5

，
由角平分线的性质得AE=AH=8，
又由△AEF∽△DOF，得

AF

DF

=

AE

DO

=

8

5

，
∴DF=

5×4 5

13

=

20 5

13

．

点评：本题考查圆的切线的证明，三角形相似，考查推理论证能力和运算求解能力．