Question

8．定义在（-1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（-1，+∞），f[f（x）-xe^x]=0恒成立，则方程f（x）-f′（x）=x的解所在的区间是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （-$\frac{1}{2}$，0）
• D． （$\frac{1}{2}，1$）

Answer 1

分析 由题意，可知f（x）-xe^X是定值，令t=f（x）-xe^X，得出f（x）=xe^X+t，再由f（t）=te^t+t=0求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）-f′（x）=x的解所在的区间，即得正确选项．

解答 解：由题意，可知f（x）-xe^X是定值，不妨令t=f（x）-xe^X，则f（x）=xe^X+t，
又f（t）=te^t+t=0，解得t=0，
所以有f（x）=xe^X，
所以f′（x）=（x+1）e^X，
令F（x）=f（x）-f′（x）-x=xe^x-（x+1）e^x-x=-e^x-x，
可得F（-1）=1-$\frac{1}{e}$＞0，F（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{e}}{e}$＜0
即F（x）的零点在区间（-1，-$\frac{1}{2}$）内
∴方程f（x）-f′（x）=x的解所在的区间是（-1，-$\frac{1}{2}$），
故选：A．

点评 本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）-xe^x是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度．