Question

【题目】已知：函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的上的最大值；

（3）当时，试讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）答案不唯一，具体见解析

【解析】

(1)根据导数的几何意义求得切线的斜率,由点斜式可求得切线方程;

(2)求导后,对分类讨论可求得函数的上的最大值;

(3)求导后,对分类讨论,利用零点存在性定理可求得.

（1）因为,所以,所以，

∴函数在点处的切线方程为：；

（2）因为,所以，

①当，∴在上单调递增；此时的最大值为；

②当，令得,

若，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，

∴，

若，即时，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴，

综上所述：

①当时，的最大值为；

②当时，的最大值为；

（3）由题意知：，则，

①即时在上恒成立，

∴在上单调增，

且，，

由零点存在性定理可知：在上存在唯一的零点，即在上存在唯一零点；

②即，

令，则，

此时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在上取得最小值,

令，

令，得，

∴在单调增，在上单调减，得，

①当时，，此时函数有且只有一个零点，

②当,即时，,

所以在上为增函数,所以,即，

∵，∴在有唯一的零点，

下面先证：

设，∴，得：，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

∴，即得证（当且仅当时取等号）；

∵，∴，

∴，

由零点存在性定理可知：在上存在唯一零点，

∴有两个零点.

③时，且，

又有，

∴由零点存在性定理可知：在与上各存在唯一零点.

所以有两个零点.

综上所述：或时，有一个零点，

且时，有两个零点.