Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到左焦点的距离等于．

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过点的直线交椭圆于两点，弦的中垂线交轴于点．

①求实数的取值范围；

②若，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①,②.

【解析】

（1）根据椭圆的基本性质列出关于的方程组，解出即可得椭圆的方程；

（2）由题意得，设直线的方程为，代入椭圆中，根据韦达定理可求出的取值范围，①设的中点为，求出点的坐标，根据直线斜率的关系化简可得，结合的范围即可求出的取值范围；②得，联立方程可得，根据韦达定理可得，，即可求出结果.

（1）依题意可得，解得，，

故椭圆方程为.

（2）由题意得，设直线的方程为，联立，

整理得，

由，解得，

设，

∴，，

①设的中点为，

则有，则，

当时，即，即，，
解得，

当时，可得，符合，

∴，由，解得，

即实数的取值范围为.

②由题意得且，

设或点的坐标为

由，

消去，可得，∴，也是此时方程的两个根，

∴，，

∴，解得，

∴.