Question

12．若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，AB=2，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值为8．

Answer 1

分析 根据题意，连接CG，并延长交AB的中点D，从而可得出GD=1，进而得出CD=3，DA=1，而$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}）•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}）$，这样进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：如图，连接CG，延长交AB的中点于D；

又AG⊥BG；
∴GD=$\frac{1}{2}AB=1$；
∴CD=3，且DA=1；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}）•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}）$
=${\overrightarrow{CD}}^{2}-{\overrightarrow{DA}}^{2}$
=9-1
=8．
故答案为：8．

点评 考查三角形重心的概念，直角三角形的斜边中线等于斜边一半，以及三角形重心的性质，向量加法的几何意义，向量数量积的运算．