Question

已知直线x=0绕点（0，1）按逆时针方向旋转

π

4

后所得直线与圆（x-a）²+（y-b）²=2（a，b＞0）相切，则

1

a

+

4

b

的最小值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,直线与圆的位置关系

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：先求出直线x=0绕点（0，1）按逆时针方向旋转

π

4

后所得直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立等式，求出a，b的等量关系，然后利用“1”的代换，以及基本不等式可求出所求，注意等号成立的条件．

解答： 解：∵直线x=0绕点（0，1）按逆时针方向旋转

π

4

，
∴所得直线的斜率为-1，则直线方程为x+y-1=0，
∵所得直线与圆（x-a）²+（y-b）²=2（a，b＞0）相切，
∴

|a+b-1|

2

=

2

，即a+b=3，
又∵a，b＞0，
∴

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）×

a+b

3

=

1

3

+

4

3

+

b

3a

+

4a

3b

≥

5

3

+2

b 3a × 4a 3b

=3，
当且仅当

b

3a

=

4a

3b

，即a=1，b=2时取等号，
∴

1

a

+

4

b

的最小值为3．
故选：C．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线与圆的位置关系．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．直线与圆相切时，利用圆心到切线的距离等于半径进行求解．属于中档题．