Question

设函数f（x）=x³﹣ax，x∈R．过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣kf（x﹣1）≥0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解 ∵f（x）=x³﹣ax，x∈R，
∴f′（x）=3x²﹣a≥﹣a，
∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=﹣a，
∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2
∴﹣a=﹣1，故a=1．
（2）∵a=1∴f（x）=x³﹣x，f′（x）=3x²﹣1，
令f′（x）=3x²﹣1=0，得x=．
列表讨论：

由表讨论知：函数f（x）的单调增区间是 （﹣∞，）、（+∞）；
单调减区间是（，）．
极大值f（）=
极小值f（）=
（3）∵f（x）﹣kf（x﹣1）≥0，f（x）=x³﹣x，

∵x∈（1，+∞），
当1＜x＜2时，﹣2＜1+ ＜1
当x=﹣2时，1+＜+∞，
当x＞2时，1+＞1
∴k≤﹣2．