Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（2x+$\frac{1}{2}$）=m有3个不同的解，则m的取值范围是（2，4]．

Answer 1

分析 令t=2x+$\frac{1}{2}$，则f（t）=m，作出函数f（x）的图象，结合一次方程的根的个数，即可得到m的范围．

解答 解：令t=2x+$\frac{1}{2}$，
则f（t）=m，
当t≤0时，f（t）≤4；当t＞0时，f（t）≥2；
由图象可得，当m＜2时，t有一解；
当m=2时，t有两解；
当2＜m≤4时，t有三解；
当m＞4时，t有两解．
当m＜2时，t=2x+$\frac{1}{2}$一个根；
当m=2时，t=2x+$\frac{1}{2}$，方程有两个实根；
当2＜m≤4时，t=2x+$\frac{1}{2}$有三个根；
当m＞4时，t=2x+$\frac{1}{2}$有两个不同的实根．
综上可得m的范围是（2，4]．
故答案为：（2，4]．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的零点的判断，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．