Question

9．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x²+2y²=4交于A，B两点，P是l上满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1的点．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设点C（-2，0），若过点C的直线与动点P的轨迹恰有一个公共点，求该直线的斜率．

Answer 1

分析 （1）确定A，B的坐标，表示出向量，利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1，化简可得点P的轨迹方程；
（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，消去y，再由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程即可得到所求直线的斜率．

解答 解：（1）设P（m，n），
∵动直线l：x=m垂直于x轴，且与椭圆x²+2y²=4交于A，B两点，
∴由方程x²+2y²=4，
可得A，B的纵坐标为y=±$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$，
∴A（m，$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$），B（m，-$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$）（-2＜m＜2）．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1，
∴（0，$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$-n）•（0，-$\sqrt{\frac{4-{m}^{2}}{2}}$-n）=-1，
∴$\frac{{m}^{2}}{2}$+n²=1，
即有点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设过C（-2，0）的直线方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得
（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
由过点C的直线与动点P的轨迹恰有一个公共点，
可得判别式△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得所求直线的斜率为±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查向量知识的运用和直线的斜率的运用，考查直线和椭圆相切的条件，属于中档题．