Question

17．设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点F到直线3x+4y+1=0的距离为1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：x-my+2=0，求直线l与抛物线C恰有一个公共点，两个公共点时实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的焦点，运用点到直线的距离公式，解得p=2，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）联立方程组消x得关于y的方程，分m=0，m≠0两种情况讨论，使该方程有一解、两解即可．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），
点F到直线3x+4y+1=0的距离为1，即有$\frac{|2p+1|}{5}$=1，
解得p=2，
抛物线C的方程为x²=4y；
（Ⅱ）由直线l与抛物线C，消去x得m²y²-（4m+4）y+4=0，
（1）当m=0时，-4y+4=0，解得y=1，此时交点为（-2，1），直线与抛物线只有一个公共点；
（2）当m≠0时，由△=（4m+4）²-16m²=0，得m=-$\frac{1}{2}$，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；△＞0，m＞-$\frac{1}{2}$
综上，m=0或-$\frac{1}{2}$时，直线l与抛物线C恰有一个公共点，m＞-$\frac{1}{2}$且m≠0，两个公共点．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，联立直线方程运用韦达定理，属于中档题．