Question

【题目】已知椭圆 （a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1 ， F2 ， 在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2 ， 则椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0）， ∴直线AB的方程为： ，整理得：bx﹣ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x，y）
则bx=ay﹣ab，
∴x= y﹣a，
∵PF1⊥PF2 ，
∴ =（﹣c﹣x，﹣y）（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2
=（ ）2+y2﹣c2 ，
令f（y）=（ ）2+y2﹣c2 ，
则f′（y）=2（ y﹣a）× +2y，
∴由f′（y）=0得：y= ，于是x=﹣ ，
∴ =（﹣ ）2+（ ）2﹣c2=0，
整理得： =c2 ， 又b2=a2﹣c2 ， e2= ，
∴e4﹣3e2+1=0，
∴e2= ，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴e= ．
椭圆的离心率 ，
故选：D．