Question

已知函数f（x）=

3

sin2

ωx

2

+sin

ω

2

cos

ω

2

（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；             
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大、最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数的解析式为sin（ωx-

π

3

）+

3

2

，根据周期为π求得ω的值．
（Ⅱ）根据f（x）=sin（ωx-

π

3

）+

3

2

，以及 0≤x≤

π

2

，求出-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，从而求得函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大、最小值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=

3

sin2

ωx

2

+sin

ω

2

cos

ω

2

=

3

2

（1-cosωx ）+

1

2

sinωx=sin（ωx-

π

3

）+

3

2

．
因为函数的周期为π，所以ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（ωx-

π

3

）+

3

2

，
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，所以，-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
所以函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大、最小值分别为1+

3

2

，0．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．