Question

设函数f（x）=x³-ax²-3a²x+1（a＞0）。
（I）求f（x）的导数f′（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅲ）若x∈[a+1，a+2]时，恒有f′（x）＞-3a，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（I）；
（II）可知：当时，函数f（x）为增函数，
当时，函数f（x）也为增函数，
当时，函数f（x）为减函数，
当x=-a时，f（x）的极大值为；
当x=3a时，f（x）的极小值为-9a³+1；
（III）a的取值范围是（0，1）。