Question

12．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边
（1）若AB边上的中线CM=AB=2，求a+b的最大值；
（2）若AB边上的高h=$\frac{1}{2}c$，求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得：b²=5-4cos∠CMA，a²=5+4cos∠CMA，可得a²+b²=10，利用基本不等式即可解得$a+b≤2\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}=2\sqrt{5}$，从而得解．
（2）由已知及三角形面积公式可得$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2（sinC+cosC）=2\sqrt{2}sin（C+\frac{π}{4}）$，又2ab（sinC+cosC）=a²+b²≥2ab，有$1≤sinC+cosC≤\sqrt{2}$，从而得解$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的取值范围．

解答 （本题满分为15分）
解：（1）∵b²=AM²+CM²-2AM•CMcos∠CMA=5-4cos∠CMA，
a²=BM²+CM²-2BM•CMcos∠CMB=5-4cos（π-∠CMA）=5+4cos∠CMA，
∴a²+b²=10，
∴$a+b≤2\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}=2\sqrt{5}$，
故当且仅当a=b时，${（a+b）_{max}}=2\sqrt{5}$，…（8分）
（2）由$S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}absinC$，可得c²=2absinC=a²+b²-2abcosC，
解得：2ab（sinC+cosC）=a²+b²，
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2（sinC+cosC）=2\sqrt{2}sin（C+\frac{π}{4}）$，
又2ab（sinC+cosC）=a²+b²≥2ab，
∴$1≤sinC+cosC≤\sqrt{2}$，
得$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}∈[{2，2\sqrt{2}}]$．…（15分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．