Question

广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元?值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

Answer 1

解：（1）由已知m=，f（x）=ln（2x+1）-，（其中x＞0）；
∴f^′（x）=-=；
由f^′（x）＞0，即199-2x＞0，解得0＜x＜99.5；
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，该企业的加工费随x的增加不断增长．
（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，则
当x∈[10，20]时，都有ln（2x+1）-mx≥x，即+m≤，
令g（x）=，x∈[10，20]，则
g^′（x）==；
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），则
h^′（x）=2-[2ln（2x+1）+（2x+1）]=-2ln（2x+1）＜0，
可知h（x）在[10，20]上单调递减，从而h（20）≤h（x）≤h（10）；
又h（10）=20-21ln21＜21（1-ln21）＜0，
即x∈[10，20]时，知g（x）在[10，20]上单调递减，
因此，g_min（x）=，即m≤-；
故当美元的贬值指数m∈时，该企业加工生产不会亏损．
分析：（1）由m=，得f（x）=ln（2x+1）-，对f（x）求导，并令f^′（x）＞0，可解得x的值；即为所求．
（2）企业加工生产不出现亏损，即x∈[10，20]时，ln（2x+1）-mx≥x恒成立，通过变形，得+m≤，令g（x）=，x∈[10，20]，对g（x）求导，得g^′（x）=；再令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），对h（x）求导，得h^′（x）＜0，从而得h（x）在[10，20]上单调递减，即h（20）≤h（x）≤h（10）＜0，所以x∈[10，20]时，g（x）单调递减，从而得g_min（x）=g（20），即m≤g（20）-；即得美元的贬值指数m的范围．
点评：本题考查了导数在求函数最值问题中的应用：当导数大于0时，函数在该区间内单调递增；导数小于0时，函数在该区间单调递增．