Question

【题目】已知定义在R上的函数，其中a为常数.

（I）若x=1是函数的一个极值点，求a的值

（II）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围

（III）若函数，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围

Answer 1

【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ) (Ⅲ) .

【解析】试题分析：（1）求出，由是函数的一个极值点可知，解方程即可求的值；（2）要使函数在区间上是增函数，分三种情况讨论，只需使求导函数在区间大于等于零恒成立即可求的取值范围；（3）要使函数，在处取得最大值，需求函数的极值并将之与函数端点值进行比较大小，得出在函数上的最大值只能为或，再根据条件在处取得最大值，得到即可求得正数的取值范围.

试题解析：（I）

的一个极值点，

（II）①当a=时， 在区间（－1，0）上是增函数， 符合题意

②当

当a>0时，对任意符合题意

当a<0时，当符合题意

综上所述，

（III）

令

设方程（*）的两个根为式得，不妨设.

当时， 为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或

当时，由于在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为，所以在[0，2]上的最大值只能为或，

又已知在x=0处取得最大值，所以

即

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题（3）是利用方法 ② 求解的．