Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为，点．

求过点M且与圆C相切的直线方程；

过点M任作一条直线与圆C交于A，B两点，圆C与x轴正半轴的交点为P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．

Answer 1

【答案】（1），或；（2）见解析

【解析】

（1）显然直线l的斜率不存在时，与圆相切，直线l的斜率存在时，设切线方程为y+3=k（x﹣2），利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点P（2，﹣3）且与圆C相切的直线l的方程；

（2）设出AB的方程，代入圆的方程，转化为根与系数之间的关系，利用设而不求思想结合直线斜率进行整理即可．

当直线l的斜率不存在时，显然直线与圆相切，

当直线l的斜率存在时，设切线方程为，

圆心到直线的距离等于半径，

，解得，切线方程为：

即过点且与圆C相切的直线l的方程；，或．

依题意可得当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB：，代入，

整理得；

设，，又

，，

，

直线PA与PB的斜率之和为

，

，

，

，

，

为定值．