Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则a+b的值为 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，
由在x=1处取得极大值10，可得
f（1）=10，且f′（1）=0，
即为1+a+b﹣a2﹣7a=10，3+2a+b=0，
将b=﹣3﹣2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，
解得a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．
当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（x﹣1）（3x﹣1），
可得f（x）在x=1处取得极小值10；
当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=（x﹣1）（3x﹣9），
可得f（x）在x=1处取得极大值10．
综上可得，a=﹣6，b=9满足题意．
则a+b=3．
所以答案是：3．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．