Question

【题目】已知与曲线相切的直线，与轴， 轴交于两点， 为原点， ， ，（ ）.

（1）求证:： 与相切的条件是： .

（2）求线段中点的轨迹方程；

（3）求三角形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）写出直线的截距式方程，化为一般式，化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于半径得到曲线C与直线l相切的充要条件；
（2）设出线段AB的中点坐标，由中点坐标公式得到a，b与AB中点坐标的关系，代入（1）中的条件得线段AB中点的轨迹方程．（3）因为a与b都大于2，且三角形AOB为直线三角形，要求面积的最小值即要求ab的最小值，根据（1）中直线l与圆相切的条件（a-2）（b-2）=2解出ab，然后利用基本不等式即可求出ab最小时当且经当a与b相等，求出此时的a与b即可求出面积的最小值．

试题解析：

(1)圆的圆心为，半径为1.可以看作是的内切圆。

内切圆的半径，

即，

即，

．

(2)线段AB中点为

∴（）

(3) ，

，

解得， ，

，

最小面积．