Question

【题目】（本小题满分分）

已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

（Ⅰ）求圆的方程．

（Ⅱ）设直线与圆相交于， 两点，求实数的取值范围．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得点到， 两点的距离相等，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），圆的方程是．（2）（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以 ，由此能求出圆的方程．

（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程，得，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△＞0，由此能求出实数a的取值范围．

（Ⅲ设符合条件的实数存在，则存在过点的直线垂直平分弦，由于垂直平分弦，故圆心必在上，从而求出实数的值．

试题解析：

（）设圆心为．

由于圆与直线相切，且半径为，所以，即，

因为为整数，故，

故所求的圆的方程是．

（）直线即代入圆的方程，消去整理得

，

由于直线交圆于、两点，故，

即，解得或．

所以实数的取值范围是．

（）设符合条件的实数存在，则存在过点的直线垂直平分弦，由（）得，则直线的斜率为， 的方程为，即．

由于垂直平分弦，故圆心必在上，所以，解得．

因为．

故存在实数，使得点到， 两点的距离相等．