Question

【题目】如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根据线线平行得线面平行平面，平面，再根据线面平行得面面平行平面平面，最后由面面平行性质得结论，（Ⅱ）先根据面面垂直得线面垂直平面，再得线线垂直，类似可得进而建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（Ⅲ）先设，再利用方程组解得平面法向量，最后根据两法向量数量积为零解得结果.

（Ⅰ）由底面为平行四边形，知，

又因为平面，平面， 所以平面.

同理平面，又因为，所以平面平面.

又因为平面，所以平面

（Ⅱ）连接,因为平面平面，平面平面，，

所以平面. 则.

又因为，，， 所以平面，则.

故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以,，为平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，

由，，得 令，得.

所以.

如图可得二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）结论：线段上存在点，使得平面平面.

证明如下：设，所以. 设平面的法向量为，又因为，所以，，即 令，得.

若平面平面，则，即， 解得.

所以线段上存在点，使得平面平面，且此时.