Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为棱PB的中点，O为AC与BD的交点，
（Ⅰ）证明：PD∥平面EAC
（Ⅱ）证明：平面EAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得PD∥OE，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（Ⅱ）已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．

解答 证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，O是AC与BD的交点
∴O是BD的中点；
连接EO．
∵E是PB中点，O是BD的中点
∴EO∥PD．
根据直线与平面平行的判定定理可证明：
∴PD∥平面EAC．
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，直线与平面平行的判定定理的应用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．