Question

4．已知函数f（x）=x³-3x
（1）求函数f（x）的极值；
（2）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，然后求解函数的极值．
（2）设出切点，求出斜率，然后求解切线方程．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-3x，∴f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）…（1分）
令f'（x）=0，解得x=-1或x=1…（2分）
列表如下

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…（4分）
当x=-1时，有极大值f（-1）=2；当x=1时，有极小值f（1）=-2…（6分）
（2）设切点$（{{x_°}，x_°^3-3{x_°}}）$，∴$k={（{{x^3}-3x}）^′}\left|{_{x={x_°}}}\right.=3x_°^2-3$…（7分）
∴切线方程$y-（{x_°^3-3{x_°}}）=（{3x_°^2-3}）（{x-{x_°}}）$…（8分）
∵切线过点P（2，-6）∴$-6-（{x_°^3-3{x_°}}）=（{3x_°^2-3}）（{2-{x_°}}）$，
∴x_°=0或x_°=3…（10分）
所以切线方程为y=-3x或y=24x-54…（12分）

点评 本题考查函数的极值的求法，导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．