Question

15．3•2^-1+4•2^-2+5•2^-3+…+（n+2）•2^-n=4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通过令S_n=3•2^-1+4•2^-2+5•2^-3+…+（n+2）•2^-n，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：记S_n=3•2^-1+4•2^-2+5•2^-3+…+（n+2）•2^-n，
则$\frac{1}{2}$S_n=3•2^-2+4•2^-3+5•2^-4+…+（n+2）•2^-n-1，
两式错位相减得：$\frac{1}{2}$S_n=3•2^-1+2^-2+2^-3+2^-4+…+2^-n-（n+2）•2^-n-1，
=$\frac{3}{2}$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=2-$\frac{n+4}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$，
故答案为：4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．