Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2013在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=2sin(2x-

π

3

)+1，由x∈[

π

4

，

π

2

]，可得

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．可得

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，即可得出f（x）_max，f（x）_min．
（II）不等式|f（x）-m|＜2013化为f（x）-2013＜m＜f（x）+2013，x∈[

π

4

，

π

2

]．m＞f（x）_max-2013，m＜f（x）_min+2013．即可得出．

解答： 解：（I）f（x）=1-cos(2x+

π

2

)-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
∴

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3．
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．
（II）不等式|f（x）-m|＜2013化为f（x）-2013＜m＜f（x）+2013，x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴m＞f（x）_max-2013=-2010，m＜f（x）_min+2013=2015．
∴-2010＜m＜2015．
∴m的取值范围是（-2010，2015）．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的运算公式、正弦函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．