Question

9．设$|\overrightarrow{OA}|=1，|\overrightarrow{OB}|=2$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+\frac{μ}{2}\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，则$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$．

Answer 1

分析 由已知求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$及$|\overrightarrow{OP}|$，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值．

解答 解：∵$|\overrightarrow{OA}|=1，|\overrightarrow{OB}|=2$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+\frac{μ}{2}\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}•（λ\overrightarrow{OA}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{OB}）$=$λ{\overrightarrow{OA}}^{2}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=λ$．
$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{（λ\overrightarrow{OA}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{OB}）^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+λ（1-λ）\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\frac{（1-λ）^{2}}{4}{\overrightarrow{OB}}^{2}}$
=$\sqrt{{λ}^{2}+（1-λ）^{2}}$=$\sqrt{2{λ}^{2}-2λ+1}$．
∴$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}$=$\frac{λ}{\sqrt{2{λ}^{2}-2λ+1}}$．
当λ＜0时，上式=$-\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{2{λ}^{2}-2λ+1}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{λ}^{2}}-\frac{2}{λ}+2}}$$＞-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当λ=0时，上式=0；
当λ＞0时，上式=$\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{2{λ}^{2}-2λ+1}}=\sqrt{\frac{1}{2{λ}^{2}-2λ+1}}≤1$．
综上，$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范围是：$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$．
故答案为：$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$．

点评 本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，是中档题．