Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）记b_n=2^a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n．求证S_n＜2ⁿ⁺¹．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=2^a_n=2ⁿ．利用等比数列的前n项和公式可得S_n=2ⁿ⁺¹-2．即可证明．

解答： （I）解：设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．∴

a

2 3

=a₁a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），化为d²-d=0，又d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）证明：b_n=2^a_n=2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．∴S_n＜2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其等比数列的前n项和公式，考查了计算能力，属于基础题．