Question

（2012•鹰潭一模）设数列{a_n}满足条件：a₁=8，a₂=0，a₃=-7，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列．
（1）设c_n=a_n+1-a_n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）若

b

n

=2n•cn，求S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）数列{a_n}的最小项是第几项？并求出该项的值．

Answer 1

分析：（1）根据{a_n+1-a_n}为等差数列，c_n=a_n+1-a_n，可得{c_n}为等差数列，求出首项与公差，即可求得数列{c_n}的通项公式；
（2）bn=(n-9)•2n，Sn=(-8)•21+(-7)•22+…+(n-9)•2n，再同乘公比，利用错位相减法，可求和；
（3）利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁，再利用配方法，即可求得结论．

解答：解：（1）∵{a_n+1-a_n}为等差数列，c_n=a_n+1-a_n，∴{c_n}为等差数列，
首项c₁=a₂-a₁=-8，公差d=c₂-c₁=-7-（-8）=1
∴c_n=c₁+（n-1）d=-8+（n-1）•1=n-9．…（3分）
（2）bn=(n-9)•2n，∴Sn=(-8)•21+(-7)•22+…+(n-9)•2n①
2Sn=(-8)•22+(-7)•23+…+(n-9)•2n+1②
①-②可得-Sn=(-8)•21+22+23+…+2n-(n-9)•2n+1
∴-Sn=(-9)•21+[21+22+23+…+2n]-(n-9)•2n+1
∴Sn=20+(n-10)•2n+1．…（8分）
（3）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁=(-8)+(-7)+…(n-10)+8=

n-1

2

[(-8)+(n-10)]+8=

1

2

(n-1)(n-18)+8
=

1

2

(n2-19n+18)+8=

1

2

(n-

19

2

)2-

192

8

+17
当n=9或n=10时，最小项a₉=a₁₀=-28．…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，解题的关键是掌握等差数列的通项公式及错位相减法求和，属于中档题．