Question

15、在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M在平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁的距离相等的点，则M点的轨迹是直线A₁D₁，
其中真命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离相等，底不变，所以体积不变．
②通过举例说明，如直线AB与平面ACD₁所成角和直线AC₁与平面ACD₁所成角不相等．
③P在直线BC₁上运动时，可知AP的轨迹是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影响．
④M在平面A₁B₁C₁D₁内，而点D和C₁距不在平面A₁B₁C₁D₁内，且距离相等，则点M的轨迹是一条与直线DC₁平行的直线．而DD₁=D₁C₁，所以必过D₁点．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁∥上任意一点到平面AD₁C的距离相等，所以体积不变，正确．
②P在直线BC₁上运动时，直线AB与平面ACD₁所成角和直线AC₁与平面ACD₁所成角不相等，所以不正确．
③当P在直线BC₁上运动时，AP的轨迹是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影响，所以正确．
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，∴M点的轨迹是一条与直线DC₁平行的直线，而DD₁=D₁C₁，所以正确．
故答案为：①③④

点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，棱锥的体积，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法，其中熟练掌握正方体的几何特征是解答本题的关键．