Question

15．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PDA⊥平面PBA；
（2）若AB=2，BC=$\sqrt{2}$，PA=PB，四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，求BD与平面PAD所成的角．

Answer 1

分析 （1）证明：DA⊥侧面PAB，即可证明平面PDA⊥平面PBA；
（2）设AB的中点为O，连接PO，则PO⊥AB，若AB=2，BC=$\sqrt{2}$，PA=PB，四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，可得△PAB是等边三角形，设PA中点为H，连接BH，DH，则BH⊥AP，确定∠BDH为BD与平面PAD所成的角，即可求BD与平面PAD所成的角．

解答 （1）证明：由已知DA⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，
∴DA⊥侧面PAB，
∵DA?平面PDA，
∴平面PDA⊥平面PBA；
（2）解：设AB的中点为O，连接PO，则PO⊥AB，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD，
∴V=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×PO$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴PO=$\sqrt{3}$，
∴△PAB是等边三角形，
设PA中点为H，连接BH，DH，则BH⊥AP 
由（1）平面PDA⊥平面PBA，∴BH⊥平面PDA，
∴∠BDH为BD与平面PAD所成的角．
在Rt△BHD中，BH=DH=$\sqrt{3}$，∴∠BDH=45°，
∴BD与平面PAD所成的角为45°

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．