Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设置AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求A到平面PBD的距离．
（3）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=$\sqrt{3}$，求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离．
（3）设AB=t，t＞0，求出平面ADE的法向量和平面ACE的法向量，由二面角D-AE-C为60°，求出AB=$\frac{3}{2}$，由此能求出三棱锥E-ACD的体积．

解答 证明：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC和BD互相平分，O是BD的中点，
∵E是PD的中点，
∴OE是△PBD的中位线，∴PB∥OE，
∵OE∈平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
解：（2）∵底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×AD×AP$，即$\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{6}AB$，
解得AB=$\frac{3}{2}$，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（$\frac{3}{2}$，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{3}{2}$，0，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-1），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{3}{2}x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（$2，\sqrt{3}，3$），
∴A到平面PBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{4+9+3}}$=$\frac{3}{4}$．
（3）设AB=t，t＞0，则A（0，0，0），C（t，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（t，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=tx+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{t}$，1，-$\sqrt{3}$），
∵二面角D-AE-C为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{t}}{\sqrt{\frac{3}{{t}^{2}}+4}}$，
由t＞0，解得t=$\frac{3}{2}$，∴AB=$\frac{3}{2}$，
S_△ACD=$\frac{1}{2}×AD×CD$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
E到平面ACD的距离d=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，
∴三棱锥E-ACD的体积V_E-ACD=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考百三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．