Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=$\frac{3}{2}$AC，D是AC的中点．
（1）求点B₁到平面A₁BD的距离．
（2）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁C₁的中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B₁到平面A₁BD的距离．
（2）求出平面A₁BD的法向量和平面AA₁B的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-D的余弦值．

解答 解：（1）取A₁C₁的中点E，连结DE，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=$\frac{3}{2}$AC，D是AC的中点，
∴DE⊥平面ABC，BD⊥AC，
以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA₁=AB=BC=$\frac{3}{2}$AC=3，
则B₁（0，2$\sqrt{2}$，3），A₁（-1，0，3），D（0，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（0，2$\sqrt{2}$，3），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（-1，0，3），$\overrightarrow{DB}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-x+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
∴点B₁到平面A₁BD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{17}•\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{170}}{170}$．
（2）平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
设平面AA₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
A（-1，0，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，3），$\overrightarrow{AB}$=（1，2$\sqrt{2}$，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=a+2\sqrt{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=2$\sqrt{2}$，得b=-1，∴$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{2}$，-1，0），
设二面角A-A₁B-D的平面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-A₁B-D的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．