Question

16．已知一个平行六面体的各棱长都等于2，并且以顶点A为端点的各棱间的夹角都等于60°，则该平行六面体中平面ABB₁A₁与平面ABCD夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，连接对角线AC，BD，相交于点O，连接A₁B，A₁O，A₁D．由已知可得：△A₁AB，△ABD，△A₁AD，都是等边三角形，因此△A₁BD也是等边三角形．可得A₁O⊥BD，BD⊥平面ACC₁A₁，平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．过点A₁作A₁E⊥AC，垂足为E，则A₁E⊥平面ABCD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接A₁F，则A₁F⊥AB，可得∠A₁FE是平行六面体中平面ABB₁A₁与平面ABCD夹角的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：如图所示，
连接对角线AC，BD，相交于点O，连接A₁B，A₁O，A₁D．
底面四边形ABCD是菱形，则BD⊥AC，点O是对角线的中点．
由已知可得：△A₁AB，△ABD，△A₁AD，都是等边三角形，
因此△A₁BD也是等边三角形．
∴A₁O⊥BD，AO∩A₁O=O，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又BO?平面ABCD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．
过点A₁作A₁E⊥AC，垂足为E，则A₁E⊥平面ABCD，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接A₁F，则A₁F⊥AB，
∴∠A₁FE是平行六面体中平面ABB₁A₁与平面ABCD夹角的平面角．
△A₁OA中，${A}_{1}O=AO=\sqrt{3}$，AA₁=2，则${A}_{1}E×\sqrt{3}$=$2×\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$，
解得A₁E=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，AE=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
Rt△AEF中，EF=AEsin30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴Rt△A₁EF中，tan∠A₁FE=$\frac{{A}_{1}E}{EF}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{2}$．
∴cos∠A₁FE=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系及其空间角、线面面面垂直的判定与性质定理、菱形与等边三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．