Question

1．已知函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，x∈R
（1）求函数y=f（3x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知锐角△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，且a=7，sinB+sinC=$\frac{13}{7}$sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为正弦型三角函数，写出函数y=f（3x）的解析式，求它的最小正周期和单调递减区间；
（2）根据题意，先求出角A的值，再利用正弦、余弦定理，即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$（2cos²x-1）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），x∈R；
∴函数y=f（3x）=2sin（6x+$\frac{π}{3}$），
∴y=f（3x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{6}$=$\frac{π}{3}$；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤6x+$\frac{π}{3}$≤2kx+$\frac{3π}{2}$，
解得$\frac{1}{3}$kπ+$\frac{π}{36}$≤x≤$\frac{1}{3}$kπ+$\frac{7π}{36}$，k∈Z；
∴y=f（3x）的单调递减区间为[$\frac{1}{3}$kπ+$\frac{π}{36}$，$\frac{1}{3}$kπ+$\frac{7π}{36}$]，k∈Z；
（2）锐角△ABC中，f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，
∴2sin（A-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜A＜$\frac{π}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$；
又a=7，sinB+sinC=$\frac{13}{7}$sinA，
∴b+c=$\frac{13}{7}$a=$\frac{13}{7}$×7=13；
由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc，
即7²=13²-3bc，
解得bc=40；
∴△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与解三角形的灵活应用问题，是综合性题目．