Question

18．如图，F₁，F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF₁QF₂为矩形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2+$\sqrt{2}$
• B． 2+$\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{2+\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{2+\sqrt{6}}$

Answer 1

分析 由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，矩形的对角线长相等，
y=x代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得x=±$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}}$，
∴$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}}$=c，
∴2a²b²=（b²-a²）c²，
∴2a²（c²-a²）=（c²-2a²）c²，
∴2（e²-1）=e⁴-2e²，
∴e⁴-4e²+2=0，
∵e＞1，∴e²=2+$\sqrt{2}$，
∴e=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定a，c的关系是关键．