Question

6．把直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后，互相垂直的平面有3对．

Answer 1

分析 如图所示，把直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后，CD⊥AD，CD⊥DB，k可得∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，因此∠ADB=90°，△ABC是锐角三角形，不是直角三角形，可以证明．

解答 解：如图所示，
把直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后，
CD⊥AD，CD⊥DB，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，因此∠ADB=90°，
△ABC是锐角三角形，不是直角三角形．
设CD=x，DB=y，AD=z，不妨设x≤y≤z，
则AC²=x²+z²，BC²=x²+y²，AB²=y²+z²，且∠ACB最大．
cos∠ACB=$\frac{{x}^{2}+{z}^{2}+{x}^{2}+{y}^{2}-（{y}^{2}+{z}^{2}）}{2\sqrt{（{x}^{2}+{z}^{2}）（{x}^{2}+{y}^{2}）}}$=$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{（{x}^{2}+{z}^{2}）（{x}^{2}+{y}^{2}）}}$＞0，
∴∠ACB为锐角，因此△ABC是锐角三角形，可得平面ABC与其它三个平面都不垂直．
综上可得：互相垂直的平面有3对：平面ACD⊥平面CDB，平面ACD⊥平面ADB，平面ABD⊥平面CDB．
故答案为：3．

点评 本题考查了空间位置关系及其空间角、线面面面垂直的判定与性质定理、直角三角形的边角关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．