Question

19．已知椭圆一焦点与短轴两端连线的夹角为90°，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1  （a＞b＞0），作出图形分析可得AC=$\sqrt{2}$OC，即a=$\sqrt{2}$c，由离心率计算公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1  （a＞b＞0），
如图：OA=b，OC=c，∠ACB=90°，
分析可得AC=$\sqrt{2}$OC，即a=$\sqrt{2}$c，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，解题的关键是由题干条件得到b、c的关系．