Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0）两点，曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2| =

3

2

|F1F2|．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且

MA

=

1

2

MB

，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =

3

2

|F1F2| =6＞|F₁F₂|=4，
故曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为

x2

9

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由条件可知A为MB的中点，
则有

x12 9 + y12 5 =1，? (1) x22 9 + y22 5 =1，?(2) 2x1=x2，??   (3) 2y1=y2+3．? (4)

将（3）、（4）代入（2）得

4x12

9

+

(2y1-3)2

5

=1，整理为

4x12

9

+

4y12

5

-

12

5

y1+

4

5

=0．
将（1）代入上式得y₁=2，再代入椭圆方程解得x1=±

3

5

，
故所求的直线方程为y=±

5

3

x+3．
方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．
由

y=kx+3 x2 9 + y2 5 =1

得（5+9k²）x²+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞

4

9

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-54k

5+9k2

，①x1x2=

36

5+9k2

．②
因为

MA

=

1

2

MB

，所以A为MB的中点，从而x₂=2x₁．
将x₂=2x₁代入①、②，得x1=

-18k

5+9k2

，x12=

18

5+9k2

，
消去x₁得(

-18k

5+9k2

)2=

18

5+9k2

，
解得k2=

5

9

，k=±

5

3

．
所以直线l的方程为y=±

5

3

x+3．