Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3}x$，它与椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$有相同的焦点，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$
• B． $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{108}=1$
• C． $\frac{x^2}{108}-\frac{y^2}{36}=1$
• D． $\frac{x^2}{27}-\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点，即有双曲线的c，再由a，b，c的关系和渐近线方程，得到a，b的方程，解得a，b，即可得到双曲线方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$的焦点为（±6，0），
则双曲线的c=4，即a²+b²=36，
由双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3}x$，则b=$\sqrt{3}$a，
解得，a=3，b=3$\sqrt{3}$．
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{27}$=1．
故选A．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．