Question

15．（1）已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1焦点在x轴上，其中a=6，e=$\frac{1}{3}$，求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C的长轴长为10，焦距为6，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a=6，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，求得c=2，由b²=a²-c²=36-4=32，即可求得椭圆的标准方程；
（2）由题意可知：分类当焦点x在上时，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），2a=10，a=5，2c=6，c=3，则b²=a²-c²=25-9=16，同理可知：当焦点在y轴上时，$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），即可求得a和b的值，求得椭圆C的标准方程．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1焦点在x轴上，则a＞b＞0，
由a=6，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
则c=2，
由b²=a²-c²=36-4=32，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$；  （ 6分）   
（2）由题意可知：当焦点x在上时，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则2a=10，a=5，
2c=6，c=3，
则b²=a²-c²=25-9=16，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
当焦点在y轴上时，$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则2a=10，a=5，
2c=6，c=3，
则b²=a²-c²=25-9=16，
∴椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$，
综上可知：椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆标准方程的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．