Question

13．设椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过A（0，-1），焦点为F₁，F₂，椭圆E上满足MF₁⊥MF₂的点M有且仅有两个．
（1）求椭圆E的方程及离心率e；
（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为常数．

Answer 1

分析 （1）由椭圆E上满足MF₁⊥MF₂的点M有且仅有两个，可得点M必为短轴的两个端点，可得b=c=1，再利用a²=b²+c²，解得a即可得出．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0．由题设知，直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1（k≠2）．代入椭圆方程可得：（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，利用根与系数的关系与斜率计算公式即可得出．

解答 （1）解：∵椭圆E上满足MF₁⊥MF₂的点M有且仅有两个，∴点M必为短轴的两个端点，
∴b=c=1，由a²=b²+c²，解得a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0．由题设知，直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1（k≠2）．
代入椭圆方程可得：（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知△＞0．
则x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
从而直线AP与AQ的斜率之和=k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）+2}{{x}_{1}}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）+2}{{x}_{2}}$=2k+（2-k）$•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+（2-k）×$\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}$=2k-（2k-1）=2．
即直线AP与AQ的斜率之和为常数2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、定值问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．