Question

4．已知函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$，x∈R
（1）写出函数f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；
（2）求函数f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最值及取最值时x的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，结合正弦函数的图象性质，利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期，进而结合正弦函数的性质可得答案；
（2）根据题意，若x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，计算可得$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，结合正弦函数的图象可得答案．

解答 解：（1）根据题意，函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$，
则其周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，即函数f（x）的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解可得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，即函数f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解可得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，即函数f（x）的单调递增区间是[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，
（2）根据题意，若x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，即0≤x≤$\frac{π}{2}$，
则$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
结合正弦函数的图象，可得当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$时，函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$有最大值2，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$时，函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$有最小值-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象与性质，关键是掌握三角函数的图象变化为规律与性质以及正弦函数的图象以及性质．