Question

11．数列{a_n}的通项a_n=n²（sin²$\frac{nπ}{3}$-cos²$\frac{nπ}{3}$），其前n项和为S_n，则S₃₀=-470．

Answer 1

分析 利用二倍角公式对已知化简可得，a_n=n²（sin²$\frac{nπ}{3}$-cos²$\frac{nπ}{3}$）=-n²cos$\frac{2nπ}{3}$，然后代入到求和公式中可得，S₃₀=（1²cos$\frac{2π}{3}$+2²cos$\frac{4π}{3}$+3²cos2π+…+30²cos20π），求出特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和，根据等差数列前n项和公式，即可求解

解答 解：∵a_n=n²（sin²$\frac{nπ}{3}$-cos²$\frac{nπ}{3}$）=-n²cos$\frac{2nπ}{3}$，
∴S₃₀=（1²cos$\frac{2π}{3}$+2²cos$\frac{4π}{3}$+3²cos2π+…+30²cos20π），
=-（-$\frac{1}{2}$×1-$\frac{1}{2}$×2²+1×3²+…-$\frac{1}{2}$×28-$\frac{1}{2}$×29²+1×30²），
=-{-$\frac{1}{2}$[（1²-3²）+（4²-6²）+…+（28²-30²）+（2²-3²）+（5²-6²）+…+（29²-30²）]}，
=$\frac{1}{2}$[-2（4+10+16…+58）-（5+11+17+…+59）]，
=$\frac{1}{2}$[-2×$\frac{4+58}{2}$×10-$\frac{5+59}{2}$×10]，
=-470，
故答案为：-470．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦公式、分组求和方法的应用，考查等差数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．