Question

6．已知函数f（x）=|x-5|+|x-3|．
（1）求函数f（x）的最小值m；
（2）若正实数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{3}$，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$≥m．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式|a+b|≥|a-b|便可得出|x+3|+|x-1|≥4，从而得出f（x）的最小值为4，即得到t=4；
（2）利用柯西不等式即可证明．

解答 （1）解f（x）=|x-5|+|x-3|≥|（x-5）-（x-3）|=2；
∴f（x）的最小值m为2；
（2）证明：∵a＞0，b＞0，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{3}$，
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）[${1}^{2}+（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$]≥$（\frac{1}{a}×1+\frac{\sqrt{2}}{b}×\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$=3≥2．

点评 考查绝对值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及柯西不等式的应用，属于中档题．